小波变换简介

小波变换是一种变换分析方法,提供了一个随频率改变的时间-频率窗口,克服了 Fourier 变换的缺点:

  1. 小波变换比傅立叶变换能更好地处理不稳定信号。Fourier basis function 只 localize 频率,不 localize 时间。微弱的频率改变,在傅立叶变换后影响了所有时域。而 wavelets basis function localize both 频率和时间。
  2. 小波变换对很多函数,都有非常紧凑的结果,起到 sparse coding 的作用。比如 FBI 用小波变换作为指纹压缩的标准,达到 20:1 的压缩率。
  3. 快速小波变换 O(n)O(n) 通常比 FFT O(nlog2(n))O(n \cdot \log_2(n)) 速度更快。
  4. 对突变信号(比如 0-1 信号),小波变换能克服傅立叶变换的 gibbs 效应。

母小波

简单的说,母小波函数 ψ(t)\psi(t) 必须满足以下条件:

ψ(t)2dt=1,i.e.ψL2(R)ψ(t)dt=1,i.e.ψL1(R)ψ(t)dt=0\begin{aligned} &\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(t)|^2 dt = 1, i.e. \psi \in L^2(\mathbb R) \\ &\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(t)| dt = 1, i.e. \psi \in L^1(\mathbb R) \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \psi(t) dt = 0 \end{aligned}

变换公式

X(a,b)=abx(t)Ψ(t1b)dtX(a,b)=\frac{a}{\sqrt b}\int^{\infty}_{-\infty} x(t) \Psi(\frac{t-1}{b})dt

傅立叶变换

X(f)=x(t)ej2πftdtX(f)=\int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-j2\pi ft}dt

短时距傅立叶变换

X(t,f)=w(tτ)x(τ)ej2πfτdτX(t,f)=\int^{\infty}_{-\infty} w(t-\tau) x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau

其中符号 ff 频率, tt 时间 ,aa 时间, bb 尺度

Haar

Haar 是最简单最原始一种小波变换。

公式

Ψjk(x)=constΨ(2jxk)\Psi_{jk}(x) = const \cdot \Psi(2^j x - k)

[1] Vidakovic, Brani, and Peter Mueller. “Wavelets for kids.” Instituto de Estadística, Universidad de Duke (1994). PDF

[2] Wiki URL

[3] 知乎 URL

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